引越し後、クレジットカードの住所変更せずに実家の住所のままでも問題ないでしょうか？

住所変更をしていないとカードの更新時に新しいカードを受け取ることができなかったりカード会社からの重要な連絡文書を見逃してしまう可能性があります。
そのため、現住所に変更があった場合はクレジットカードの住所も変更することをおすすめします。